Média e mediana

 

Já não é primeira vez que abordo esta questão no blogue. A média e a mediana são duas medidas muito utilizadas na análise de dados estatísticos. Apesar de a média ser muito utilizada, há alguns cuidados que devemos ter com este indicador, dado que é influenciada por valores muito altos ou muito pequenos. Muitas das vezes, a média não reflete um valor aproximado da maioria dos dados em análise, pelo que não tem significativo valor estatístico. Nestes casos será melhor utilizar a mediana, que é uma medida muito mais resistente e não influenciável por valores muito baixos ou muito altos.

Se a distribuição dos dados for aproximadamente simétrica, a média e a mediana terão valores semelhantes. No entanto, quando a distribuição dos dados é assimétrica, a mediana e a média têm valores diferentes. Se a distribuição dos dados for assimétrica para a direita, a média terá um valor superior à mediana; se for assimétrica para a esquerda, a média será inferior à mediana.

Estive a analisar uns dados económicos e, para determinado indicador, o valor da média é sempre superior ao valor da mediana. Isto acontece porque a maioria dos dados é inferior à média, havendo uma maior concentração de valores nos dados inferiores.

Média geométrica

Como já escrevi em artigos anteriores, a média é uma das medidas mais utilizadas quando se pretende analisar dados estatísticos. A média aritmética, na maioria das vezes referida simplesmente como média, é a mais utilizada.

No entanto, em algumas áreas (por exemplo, na economia) usamos frequentemente a média geométrica.  Se depositarmos 2 000€ num banco durante 2 anos, em regime de capitalização composta, em que a taxa de juro anual é de 5% no primeiro ano e de 7% no segundo ano, a taxa média anual não será de 6% (média aritmética), mas a que resultar do cálculo da média geométrica.

Para determinar o valor da média geométrica deve calcular-se a raiz de índice n dos produtos das observações. No exemplo referido acima, a média geométrica seria calculada da seguinte forma:

√(1,05 x 1,07)-1=5,9953%

Média ou mediana?

Na sequência de dois artigos anteriores relacionados com a utilização da média e da mediana na análise estatística, este artigo tem como objetivo responder à pergunta enunciada no título.  A análise e interpretação de dados deve ser feita utilizando variados instrumentos e medidas. 

A média é uma das medidas mais utilizadas, mas, como vimos anteriormente, devemos ter algum cuidado na sua utilização. Os valores muito grandes e muitos pequenos distorcem a média e é por isso que ela deve ser usada com muito cuidado. Além disso, duas médias semelhantes podem ter naturezas completamente diferentes. Imagine-se que um aluno obteve 10 a matemática e 12 a português, sendo que a média das duas disciplinas é 11. Outro aluno obteve 6 matemática e 16 a português; a média também é 11.  Como podemos verificar, os dois alunos têm média de 11, mas as respetivas notas são completamente diferentes.

Muitas vezes lemos notícias nos jornais em que determinado valor real atual é comparado com a média de um período anterior. Mais uma vez, a conclusão a que chagamos pode não ser a mais correta. A média é calculada pela soma de vários valores, dividindo-se o seu resultado pelo número de elementos; no entanto, como vimos, há valores que estão acima da média e outros que estão abaixo da média, pelo que a existência de um valor superior à média não é necessariamente alto (da mesma forma que um valor inferior à média não é necessariamente baixo). Se calcularmos a média de um conjunto de 10 dados em que nove são muito próximos uns dos outros e o décimo elemento é bastante superior aos restantes, por ventura a média será superior aos 9 dados e apenas será menor que o décimo elemento. Neste sentido, a existência de um elemento inferior à média não implica que estejamos na presença de um valor baixo (no exemplo acima referido, até podemos estar na presença de um elemento que é superior a nove elementos e apenas inferior ao décimo elemento).

Para calcular a mediana necessitamos de ordenar (do valor mais baixo para o mais elevado ou vice-versa) os dados e escolher o elemento que divide o conjunto de elementos a meio. Se o número de elementos for ímpar, haverá um único elemento que divide a meio o conjunto de dados; se o número de elementos for par, calcular-se-á a média dos dois elementos centrais. Em comparação com a média, a mediana é mais resistente, pelo que não é influenciada por valores muito altos ou muito baixos.

Como dissemos atrás, a média é afetada por valores muito altos e muito baixos, pelo que, nestes casos, deve ser usada com parcimónia; a média será tanto mais afetada por aqueles valores quanto menor for o número de elementos.

Imagine-se uma empresa que emprega 20 pessoas, entre as quais 4 auferem salários 5 ou 6 vezes superiores aos restantes trabalhadores. O valor da média será bastante superior ao salário da maioria dos trabalhadores da empresa, não representando desta forma a população em estudo. Neste caso, seria preferível utilizar a mediana em vez da média. 

Cuidado com a média

 

A média é das medidas de localização mais utilizadas na estatística. Raro é o dia em que não há, pelo menos, uma notícia que nos indica a média de determinado conjunto de dados. O cálculo da média é bastante simples: consiste em somar todos os dados e dividir o resultado pelo número de elementos.

Se, num conjunto de famílias, uma família consumir 10 euros por mês em água, a segunda suportar 30 euros relativos ao consumo de água e a última 80 euros, a média do valor gasto por mês em água é 40€ ((10 + 30 + 80)/3). Como podemos verificar, neste caso, a média não é representativa do valor gasto pelo conjunto das famílias analisadas, uma vez que existe uma diferença muito significativa entre a média e as despesas reais suportadas pelas famílias.

Ademais, duas médias com o mesmo valor podem ter origem em dados completamente diferentes. Em vez dos dados acima referidos, imaginem três famílias com os seguintes gastos mensais suportados no consumo de água: 30 euros, 40 euros e 50 euros. Neste conjunto de dados, a média seria de 40 euros (igual ao exemplo acima exposto), mas os dados que deram origem à média são completamente diferentes — neste caso, a média seria mais consentânea com os dados apresentados do que no exemplo acima referido.

A média é uma medida muito sensível a valores muito elevados e muito baixos, pelo que estes dados influenciam significativamente o valor da média. Quer isto dizer que um valor muito elevado, em comparação com os restantes, pode influenciar expressivamente o valor da média, sendo que a interferência será tanto maior quanto menos elementos tiver o estudo.